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導讀：MBA聯(lián)考中數學(xué)的部分考察過(guò)排列組合與集合的關(guān)系 求排列組合就是求集合元素的個(gè)數。下面告訴MBA同學(xué)們用集合的觀(guān)點(diǎn)去解決排列組合的問(wèn)題，思路會(huì )更清晰。
一、集合元素的個(gè)數以最常見(jiàn)的全排列為例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個(gè)九位數都是集合A的一個(gè)元素，集合A中共有9!個(gè)元素。以下我們用S(A)表示集合A的元素個(gè)數。
二、集合的對應關(guān)系兩個(gè)集合之間存在對應關(guān)系(以前學(xué)的函數的概念就是集合的對應關(guān)系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關(guān)系，則S(A)=S(B)如果集合A中每個(gè)元素對應集合B中N個(gè)元素，則集合B的元素個(gè)數是A的N倍(嚴格的定義是把集合B分為若干個(gè)子集，各子集沒(méi)有共同元素，且每個(gè)子集元素個(gè)數為N，這時(shí)子集成為集合B的元素，而A的元素與B的子集有一一對應的關(guān)系，則S(B)=S(A)*N
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的六位數集合A為數字不重復的九位數的集合，S(A)=9!集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合A分為子集的集合，規則為前6位數相同的元素構成一個(gè)子集。顯然各子集沒(méi)有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數，等于剩余的3個(gè)數的全排列，即3!這時(shí)集合B的元素與A的子集存在一一對應關(guān)系，則 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!這就是我們用以前的方法求出的P(9，6)
例2：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個(gè)隊，問(wèn)有多少種選法？設不同選法構成的集合為C，集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合B分為子集的集合，規則為全部由相同數字組成的數組成一個(gè)子集，則每個(gè)子集都是某6個(gè)數的全排列，即每個(gè)子集有6!個(gè)元素。這時(shí)集合C的元素與B的子集存在一一對應關(guān)系，則 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!這就是我們用以前的方法求出的C(9，6) 以上都是簡(jiǎn)單的例子，似乎不用弄得這么復雜。但是集合的觀(guān)念才是排列組合公式的來(lái)源，也是對公式更深刻的認識。大家可能沒(méi)有意識到，在我們平時(shí)數物品的數量時(shí)，說(shuō)1，2，3，4，5，一共有5個(gè)，這時(shí)我們就是在把物品的集合與集合(1，2，3，4，5)建立一一對應的關(guān)系，正是因為物品數量與集合(1，2，3，4，5)的元素個(gè)數相等，所以我們才說(shuō)物品共有5個(gè)。我寫(xiě)這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復雜的問(wèn)題。
例3：9個(gè)人坐成一圈，問(wèn)不同坐法有多少種？ 9個(gè)人排成一排，不同排法有9!種，對應集合為前面的集合A 9個(gè)人坐成一圈的不同之處在于，沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分。設集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點(diǎn)，把圈展開(kāi)成直線(xiàn)，在集合A中都對應不同元素，但在集合D中相當于同一種坐法，所以集合D中每個(gè)元素對應集合A中9個(gè)元素，所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中說(shuō)的方法是先固定一個(gè)人，再排其他人，結果為8!。這個(gè)方法實(shí)際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關(guān)系。用集合的思路解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是尋找集合之間的對應關(guān)系，使一個(gè)集合的子集與另一個(gè)集合的元素形成一一對應的關(guān)系。
例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數的個(gè)數。集合A為9個(gè)數的全排列，把集合A分為兩個(gè)集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。則S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之間建立以下對應關(guān)系：集合B中任一元素1和2位置對調形成的數字，對應集合C中相同數字。則這個(gè)對應關(guān)系為一一對應。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同樣的思路可解出下題：從1、2、3…，9這九個(gè)數中選出3個(gè)不同的數作為函數y=ax*x+bx+c的系數，且要求a>b>c，問(wèn)這樣的函數共有多少個(gè)？
例5：M個(gè)球裝入N個(gè)盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經(jīng)討論過(guò)了，我再用更形象的方法說(shuō)說(shuō)。假設我們把M個(gè)球用細線(xiàn)連成一排，再用N-1把刀去砍斷細線(xiàn)，就可以把M個(gè)球按順序分為N組。則M個(gè)球裝入N個(gè)盒子的每一種裝法都對應一種砍線(xiàn)的方法。而砍線(xiàn)的方法等于M個(gè)球與N-1把刀的排列方式(如兩把刀排在一起，就表示相應的盒子里球數為0)。所以方法總數為C(M+N-1，N-1) 例6：7人坐成一排照像， 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰， 則共有多少種排法.。
解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設四部分人數分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個(gè)數，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+Y3+X4=2的非負整數解的個(gè)數，這與把2個(gè)球裝入4個(gè)盒子的方法一一對應，個(gè)數為C(5，3)=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每種排法都對應4個(gè)人的全排列4!，所以不同排法共有C(5，3)*4!=240種。集合的方法運用熟練后，不需要每次具體設定集合，但頭腦中要有清晰的對應關(guān)系。
