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導讀：今天我們一起談一談數學(xué)中的概率論問(wèn)題，希望可以幫助到大家。
從隨機現象說(shuō)起
在自然界和現實(shí)生活中，一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據它們是否有必然的因果聯(lián)系，可以分成截然不同的兩大類(lèi)：一類(lèi)是確定性的現象。這類(lèi)現象是在一定條件下，必定會(huì )導致某種確定的結果。舉例來(lái)說(shuō)，在標準大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會(huì )沸騰。事物間的這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專(zhuān)門(mén)研究和認識這種必然性的，尋求這類(lèi)必然現象的因果關(guān)系，把握它們之間的數量規律。
另一類(lèi)是不確定性的現象。這類(lèi)現象是在一定條件下，它的結果是不確定的。舉例來(lái)說(shuō)，同一個(gè)工人在同一臺機床上加工同一種零件若干個(gè)，它們的尺寸總會(huì )有一點(diǎn)差異。又如，在同樣條件下，進(jìn)行小麥品種的人工催芽試驗，各棵種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強弱和早晚的分別等等。為什么在相同的情況下，會(huì )出現這種不確定的結果呢?這是因為，我們說(shuō)的“相同條件”是指一些主要條件來(lái)說(shuō)的，除了這些主要條件外，還會(huì )有許多次要條件和偶然因素又是人們無(wú)法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類(lèi)現象中，就無(wú)法用必然性的因果關(guān)系，對個(gè)別現象的結果事先做出確定的答案。事物間的這種關(guān)系是屬于偶然性的，這種現象叫做偶然現象，或者叫做隨機現象。
在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機現象十分普遍，也就是說(shuō)隨機現象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產(chǎn)線(xiàn)上生產(chǎn)的燈泡的壽命等，都是隨機現象。因此，我們說(shuō)：隨機現象就是：在同樣條件下，多次進(jìn)行同一試驗或調查同一現象，所的結果不完全一樣，而且無(wú)法準確地預測下一次所得結果的現象。隨機現象這種結果的不確定性，是由于一些次要的、偶然的因素影響所造成的。
隨機現象從表面上看，似乎是雜亂無(wú)章的、沒(méi)有什么規律的現象。但實(shí)踐證明，如果同類(lèi)的隨機現象大量重復出現，它的總體就呈現出一定的規律性。大量同類(lèi)隨機現象所呈現的這種規律性，隨著(zhù)我們觀(guān)察的次數的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重復的擲這枚硬幣，就會(huì )越來(lái)越清楚的發(fā)現它們朝上的次數大體相同。
我們把這種由大量同類(lèi)隨機現象所呈現出來(lái)的集體規律性，叫做統計規律性。概率論和數理統計就是研究大量同類(lèi)隨機現象的統計規律性的數學(xué)學(xué)科。
概率論的產(chǎn)生和發(fā)展
概率論產(chǎn)生于十七世紀，本來(lái)是又保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來(lái)自于賭博者的請求，卻是數學(xué)家們思考概率論中問(wèn)題的源泉。
早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當時(shí)的數學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏(yíng) m局就算贏(yíng)，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當其中一個(gè)人贏(yíng)了 a (a
三年后，也就是1657年，荷蘭著(zhù)名的天文、物理兼數學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結果寫(xiě)成了《論機會(huì )游戲的計算》一書(shū)，這就是早的概率論著(zhù)作。
近幾十年來(lái)，隨著(zhù)科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應用到國民經(jīng)濟、工農業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應用數學(xué)，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的。
概率論和數理統計是一門(mén)隨機數學(xué)分支，它們是密切聯(lián)系的同類(lèi)學(xué)科。但是應該指出，概率論、數理統計、統計方法又都各有它們自己所包含的不同內容。
概率論——是根據大量同類(lèi)隨機現象的統計規律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀(guān)的科學(xué)判斷，對這種出現的可能性大小做出數量上的描述;比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一整套數學(xué)理論和方法。
數理統計——是應用概率的理論來(lái)研究大量隨機現象的規律性;對通過(guò)科學(xué)安排的一定數量的實(shí)驗所得到的統計方法給出嚴格的理論證明;并判定各種方法應用的條件以及方法、公式、結論的可靠程度和局限性。使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當大的概率來(lái)保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯誤的概率。
統計方法——是一上提供的方法在各種具體問(wèn)題中的應用，它不去注意這些方法的的理論根據、數學(xué)論證。
應該指出，概率統計在研究方法上有它的特殊性，和其它數學(xué)學(xué)科的主要不同點(diǎn)有：
一，由于隨機現象的統計規律是一種集體規律，必須在大量同類(lèi)隨機現象中才能呈現出來(lái)，所以，觀(guān)察、試驗、調查就是概率統計這門(mén)學(xué)科研究方法的基石。但是，作為數學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，它依然具有本學(xué)科的定義、公理、定理的，這些定義、公理、定理是來(lái)源于自然界的隨機規律，但這些定義、公理、定理是確定的，不存在任何隨機性。
二，在研究概率統計中，使用的是“由部分推斷全體”的統計推斷方法。這是因為它研究的對象——隨機現象的范圍是很大的，在進(jìn)行試驗、觀(guān)測的時(shí)候，不可能也不必要全部進(jìn)行。但是由這一部分資料所得出的一些結論，要全體范圍內推斷這些結論的可靠性。
三，隨機現象的隨機性，是指試驗、調查之前來(lái)說(shuō)的。而真正得出結果后，對于每一次試驗，它只可能得到這些不確定結果中的某一種確定結果。我們在研究這一現象時(shí)，應當注意在試驗前能不能對這一現象找出它本身的內在規律。
概率論的內容
概率論作為一門(mén)數學(xué)分支，它所研究的內容一般包括隨機事件的概率、統計獨立性和更深層次上的規律性。
概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數量指標。在獨立隨機事件中，如果某一事件在全部事件中出現的頻率，在更大的范圍內比較明顯的穩定在某一固定常數附近。就可以認為這個(gè)事件發(fā)生的概率為這個(gè)常數。對于任何事件的概率值一定介于 0和 1之間。
有一類(lèi)隨機事件，它具有兩個(gè)特點(diǎn)：一，只有有限個(gè)可能的結果;二，各個(gè)結果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的隨機現象叫做“古典概型”。
在客觀(guān)世界中，存在大量的隨機現象，隨機現象產(chǎn)生的結果構成了隨機事件。如果用變量來(lái)描述隨機現象的各個(gè)結果，就叫做隨機變量。
隨機變量有有限和無(wú)限的區分，一般又根據變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量;如果可能的取值充滿(mǎn)了一個(gè)區間，無(wú)法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。
在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡(jiǎn)單而應用廣泛的是二項式分布。如果隨機變量是連續的，都有一個(gè)分布曲線(xiàn)，實(shí)踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線(xiàn)是有規律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線(xiàn)取決于這個(gè)隨機變量的一些表征數，其中重要的是平均值和差異度。平均值也叫數學(xué)期望，差異度也就是標準方差。
數理統計的內容
數理統計包括抽樣、適線(xiàn)問(wèn)題、假設檢驗、方差分析、相關(guān)分析等內容。抽樣檢驗是要通過(guò)對子樣的調查，來(lái)推斷總體的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問(wèn)題，因此，在抽樣檢查中就產(chǎn)生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進(jìn)行分析判斷的理論。
適線(xiàn)問(wèn)題也叫曲線(xiàn)擬和。有些問(wèn)題需要根據積累的經(jīng)驗數據來(lái)求出理論分布曲線(xiàn)，從而使整個(gè)問(wèn)題得到了解。但根據什么原則求理論曲線(xiàn)?如何比較同一問(wèn)題中求出的幾種不同曲線(xiàn)?選配好曲線(xiàn)，有如何判斷它們的誤差?……就屬于數理統計中的適線(xiàn)問(wèn)題的討論范圍。
假設檢驗是只在用數理統計方法檢驗產(chǎn)品的時(shí)候，先作出假設，在根據抽樣的結果在一定可靠程度上對原假設做出判斷。
方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數試驗就可以做出的判斷。
由于隨機現象在人類(lèi)的實(shí)際活動(dòng)中大量存在，概率統計隨著(zhù)現代工農業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機過(guò)程、信息論、極限理論、試驗設計、多元分析等。
