MBA數學(xué)：基礎知識重點(diǎn)全輔導

基礎知識非常重要。哪些內容屬于基礎知識呢?

集合的概念

　　集合是數學(xué)中最重要的概念，是整個(gè)數學(xué)的基礎。我印象中，集合的定義是：集合是具有相同性質(zhì)的元素的集體。這個(gè)定義屬于循環(huán)定義，因為集體就是集合。我的理解是：把一些互不相同的東西放在一起，就組成一個(gè)集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以是個(gè)體，也可以是一個(gè)集合， 比如1，2，{1，2}就構成一個(gè)集合，集合中有三個(gè)元素，兩個(gè)是個(gè)體，一個(gè)是集合。元素可以是數對，(x，y)是一個(gè)數對，代表二維坐標系中的一個(gè)點(diǎn)。如果集合中的元素沒(méi)有共同的特征，要完整地描述一個(gè)集合，我們被迫列出集合中的每一個(gè)元素，如{一陣風(fēng)，一匹馬，一頭牛};如果存在相同的特征，描述就簡(jiǎn)單多了，如{所有正整數}、{所有英國男人}、{所有四川的下過(guò)馬駒的紅色的母馬}，不用一一列舉。區間是特殊的集合，專(zhuān)門(mén)用來(lái)表示某些連續的實(shí)數的集合。集合在邏輯中的應用也十分廣泛，學(xué)好了集合，數學(xué)和邏輯都能提高，起到“兩個(gè)男人并排坐在石頭上”的作用。

　　集合中元素的個(gè)數是集合的重要特征。如果兩個(gè)集合的元素能有一一對應的關(guān)系，那么這兩個(gè)集合元素的個(gè)數就是相等的。在我們平時(shí)數物品的數量時(shí)，說(shuō)1，2，3，4，5，一共有5個(gè)，這時(shí)我們就是在把物品的集合與集合(1，2，3，4，5)建立一一對應的關(guān)系，正是因為物品數量與集合(1，2，3，4，5)的元素個(gè)數相等，所以我們才說(shuō)物品共有5個(gè)。集合分為有限集合和無(wú)限集合，元素的個(gè)數一般是針對有限集合說(shuō)的。對無(wú)限集合來(lái)說(shuō)，有很多不同之處。比如{所有的正整數}與{所有的正偶數}，后者只是前者的一個(gè)子集，但兩者存在一一對應的關(guān)系，因此元素個(gè)數“相等”。而{所有整數}與{所有實(shí)數}則不可能建立一一對應的關(guān)系，因為它們的無(wú)限的級別是不同的。對兩個(gè)無(wú)限集合，我們只強調是否能一一對應，不說(shuō)元素個(gè)數是否相等。

　　兩個(gè)集合有交集和并集的關(guān)系。交集是同時(shí)在兩個(gè)集合中的所有元素的集合，例如{中國人}交{男人}={中國男人}，{韓國俊男}交{韓國美女}={河利秀}。并集是在其中任一個(gè)集合中的所有元素的集合。因為集合中的元素不能重復，所以取并集時(shí)要去掉重復了的元素，A并B的元素個(gè)數=A的元素個(gè)數+B的元素個(gè)數-A交B的元素個(gè)數。

　　函數的概念

　　如果集合A中的每一個(gè)元素，按照某種對應關(guān)系，在集合B中都有唯一的對應元素，那么這種對應關(guān)系被稱(chēng)為A到B的函數。例如Y=2X，Y=X^2都建立了{全體實(shí)數}到{全體實(shí)數}的函數關(guān)系，如果用f代表對應關(guān)系，則函數表述為：f(x)=2x， f(x)=x^2。 如果A中的某些元素，不能對應B中唯一的元素，則不存在函數關(guān)系。比如{所有小偷}與{所有失主}，因為某些小偷偷過(guò)很多不同失主的東西。

　　函數的定義域和值域。MBA數學(xué)只考慮實(shí)數。所有能使函數有意義的實(shí)數的集合，構成函數的定義域，即上面的集合A。F(X)=X^(1/2)定義域為{X/ X》=0}，F(X)=1/X定義域為{X/ X《》=0}，F(X)=LN(X)定義域為{X/ X》0}。如果函數中同時(shí)包括幾類(lèi)簡(jiǎn)單函數，則定義域是各類(lèi)函數定義域的交集。定義域按照對應關(guān)系，能對應的所有實(shí)數的集合，構成函數的值域。定義域、對應關(guān)系、值域，三者構成一個(gè)函數。

　　定義域中的每一個(gè)元素，與其在值域中對應的元素，組成一個(gè)數對，由二維坐標系中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。所有這樣的點(diǎn)形成了函數的圖象。圖象能直觀(guān)地表現函數的對應關(guān)系，大家應該熟悉冪函數、指數函數、對數函數的基本圖象。要求高的同學(xué)可以進(jìn)一步掌握圖象的平移、反射、旋轉。

　　奇函數和偶函數的定義不說(shuō)了，要注意的是奇函數和偶函數的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。F(X)=X，X為任意實(shí)數 是奇函數，如果限定X屬于[-3，5]，那函數就不是奇函數了。

　　反函數。如果集合A中的每一個(gè)元素，按照某種對應關(guān)系，在集合B中都有唯一的對應元素;而B中的每一個(gè)元素，在A中都有唯一的元素與之對應。則A到B的對應關(guān)系是可逆的，A到B的對應關(guān)系是原函數，B到A的對應關(guān)系是反函數。對于連續的函數來(lái)說(shuō)，只有絕對增函數或絕對減函數，才存在反函數，否則A中必有兩個(gè)元素，在B中對應同一元素。對于不連續的函數則沒(méi)有上述限制。

　　復合函數。集合A中的元素，按一種函數對應到集合B，B中的相應元素，再按另一種函數對應到集合C，最后形成集合A到集合C的對應關(guān)系，稱(chēng)為復合函數。

　　數列的概念

　　數列是一種特殊的函數，其定義域為全體或部分自然數。數列的通項公式A(N)就是一個(gè)函數，求出通項公式，等于求出了數列的任一項。數列的前N項和S(N)(N=1，2，。。。)構成了一個(gè)新的數列，知道S(N)的公式，通過(guò)A(1)=S(1)，A(N)=S(N)-S(N-1)就能求出原數列的通項公式。

　　MBA數學(xué)主要考察等差數列和等比數列。有些數列不是等差數列或等比數列，但經(jīng)過(guò)改造后可構造出等差數列或等比數列，如A(1)=1，A(N+1)=2A(N)+1。這個(gè)數列的每一項都加上1，就成為等比數列了，通項公式為2^N，因此原數列通項公式為：A(N)=2^N-1

　　其他常見(jiàn)的數列包括A(N)=N^3， A(N)=N!/(N-K)!，A(N)=1/[N(N-1)]等，都有相應的辦法能處理。

　　排列、組合、概率的概念

　　排列、組合、概率都與集合密切相關(guān)。排列和組合都是求集合元素的個(gè)數，概率是求子集元素個(gè)數與全集元素個(gè)數的比值。

以最常見(jiàn)的全排列為例，用S(A)表示集合A的元素個(gè)數。用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，則每一個(gè)九位數都是集合A的一個(gè)元素，集合A中共有9!個(gè)元素，即S(A)=9!

如果集合A可以分為若干個(gè)不相交的子集，則A的元素等于各子集元素之和。把A分成各子集，可以把復雜的問(wèn)題化為若干簡(jiǎn)單的問(wèn)題分別解決，但我們要詳細分析各子集之間是否確無(wú)公共元素，否則會(huì )重復計算。

　　集合的對應關(guān)系

兩個(gè)集合之間存在對應關(guān)系(以前學(xué)的函數的概念就是集合的對應關(guān)系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關(guān)系，則S(A)=S(B)。如果集合B中每個(gè)元素對應集合A中N個(gè)元素，則集合A的元素個(gè)數是B的N倍(嚴格的定義是把集合A分為若干個(gè)子集，各子集沒(méi)有共同元素，且每個(gè)子集元素個(gè)數為N，這時(shí)子集成為集合A的元素，而B的元素與A的子集有一一對應的關(guān)系，則S(A)=S(B)*N

例如：從1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取六個(gè)數，問(wèn)能組成多少個(gè)數字不重復的六位數。

集合A為數字不重復的九位數的集合，S(A)=9!

集合B為數字不重復的六位數的集合。