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導讀：

 

下面介紹求簡(jiǎn)單遞推數列通項公式的通用解法，并由此思路解一個(gè)老題

以下記A（N）為數列第N項

1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求數列通項公式
解：由題意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]
即 A（N）+1是以2為首項，2為公比的等比數列
因此 A(N)+1=2^N
數列通項公式為 A(N)=2^N-1

2、通用算法
已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求數列通項公式
解：設 A（N）+X=P*[A（N-1）+X]
解得 X=Q/（P-1）
因此 A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）為首項，P為公比的等比數列
由此可算出A（N）通項公式

3、已知A1和A2， A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求數列通項公式
解題思路：設 A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]
代入原式可得出兩組解，對兩組X，Y分別求出
A（N）+X*A（N-1）的通項公式
再解二元一次方程得出A（N）
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。

4、現在用上面的思路來(lái)解決一個(gè)著(zhù)名的問(wèn)題：
N個(gè)球和N個(gè)盒子分別編號從1到N，N個(gè)球各放入一個(gè)盒子，求沒(méi)有球與盒子編號相同的放法總數。

解：設A（N）為球數為N時(shí)滿(mǎn)足條件的放法（以下稱(chēng)無(wú)配對放法）總數，
易知A1=0，A2=1
當N》2時(shí)，一號球共有N-1種放法，假設1號球放入X號盒子
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號球正好放入1號盒子，
問(wèn)題等價(jià)于有N-2個(gè)球的無(wú)配對放法，放法總數為：A（N-2）
在剩下的N-1個(gè)球和N-1個(gè)盒子中，如X號球沒(méi)有放入1號盒子，
則可以把X號球看作1號球，問(wèn)題等價(jià)于有N-1個(gè)球的無(wú)配對放法，
放法總數為：A（N-1）

因此有 A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]
上式可變換為： A（N）-NA（N-1）

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